Quelques trucs mathématiques

2017.05

Factorisation rapide d'une équation au second degré

Comment factoriser une équation de type x²+4x+3=0?

Prenons le problème à l'envers:

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b) = x² + xb + ax + ab = x² + (a + b)x + ab

Nous obtenons donc la somme a+b et le produit ab

Dans l'expression x² + 4x + 3, 4 est la somme, et 3 le produit. En cherchant un peu, 3 et 1 donnent la somme 3 + 1 et le produit 3 * 1. L'équation du haut peut donc se factoriser:

(x + 3)(x + 1)=0

…qui s'annulera si x égale -3 ou -1

L'équation se vérifie si x est égal à -3 ou à -1:

(-3)² + 4.(-3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
(-1)² + 4.(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

Autre exemple: x² - 13x + 42 = 0 :

a + b = -13
a × b = 42

Sommes possibles: -13 = –1 + –12, –2 + –11, –3 + –10, –4 + –9, –5 + –8, –6 + –7…
Produits possibles: 42 = 2 × 21, –2 × –21, 3 × 14, –3 × –14, 6 × 7, –6 × –7…

Les deux nombres à retenir sont donc -6 et -7

(x – 7)(x – 6) = 0

Les valeurs 7 et 6 pour x vérifient l'équation.

Attention: cela ne fonctionne que pour des cas particuliers, par exemple dans des questions d'examens (parfois). Des résultats peuvent être irrationnels (racines…) ou inexistants dans l'ensemble des réels.

56 = 7 × 8

Cette égalité met en relation ordonnée les quatre chiffres 5, 6, 7, et 8, ce qui peut vous aider à retenir la table de multiplication par 7, réputée la plus difficile. Existe-t-il d'autres égalités de ce genre ?

Pour résoudre cette question de façon mathématique, autrement que par la vérification de toutes les possibilités, nous mettons cette égalité en équation :

ab = c × d

En posant a = n, et donc b = n + 1, c = n + 2 et d = n + 3, cette équation peut s'écrire (a représentant les dizaines) :

10n + n + 1 = (n + 2) × (n + 3)

11n + 1 = n² + 5n + 6

0 = n² – 6n + 5

La factorisation simple donne comme somme –6 (soit –5 + –1) et comme produit 5 (soit –5 × –1), et donc :

(n – 5) × (n – 1) s'annule donc en 1 et 5, d'où :

12 = 3 × 4
56 = 7 × 8

La multiplication sur les doigts des Romains

Les Romains retrouvaient les résultats de la multiplication des nombres de 6 à 9 (inclus) sur leurs doigts. Pour multiplier par exemple 6 et 8, ils faisaient coïncider l'auriculaire (o = 6) d'une main avec le majeur (m = 8) de l'autre :

  p
9 i
8 m   p
7 a   i 9
6 o = m 8
      a 7
      o 6

En considérant comme chiffre des dizaines les deux doigts en connexion et tous ceux en dessous (4 dans notre exemple) et comme chiffre des unités la multiplication de ceux du dessus y compris le pouce (4 × 2 = 8), le résultat est dans cet exemple bien 48. Est-ce que cette méthode fonctionne toujours ?

Posons les deux nombres n et t entre 6 et 9 inclus et voyons comme les interpréter dans ce genre de calcul :

• les dizaines : (n – 5) + (t – 5) puisque le décompte des doigts commence après 5 ; soit n + t – 10, à multiplier par 10
• les unités : (10 – n) × (10 – t) puisqu'il s'agit du reste des doigts jusqu'à 10 (le pouce)

Multiplier n et t à la romaine revient à écrire :

10 × (n + t – 10) + (10 – n) × (10 – t)
10n + 10t – 100 + 100 – 10n – 10t + t × n

Le résultat après simplification donne bien la multiplications entre les deux chiffres-nombres de départ. Cela fonctionne également avec un nombre 10 (pouce), mais l'intérêt est moindre.

Le carré d'un entier multiple de cinq

Le carré d'un entier terminant par 5 peut être approché par (n-5) * (n+5). En vertu du produit remarquable (a+b) * (a-b) = a² - b², il y manque b² à cette valeur approchée, à savoir 25.

Exemple : 35² = 30 *40 +25 = 1225. En pratique, 3*4 suivi de 25.

Cela ne se limite pas De la même manière, pour calculer le nombre d'intersection d'un plateau de GO (un réseau de 19*19 lignes), calculer 18*20 +1 =361. Pour le carré de 31, 30*32 +1 =961.

Cela peut être étendu à d'autres nombres : 18² =16*20 +4 =324 ; 33² =30*36 +9 = 1089.

C'est moins pratique pour les nombres terminant par 6 : 36² =40*32 +16 =1296.