Quelques (bientôt) trucs mathématiques

2017.05

Factorisation rapide d'une équation au second degré

Comment factoriser une équation de type x²+4x+3=0?

Prenons le problème à l'envers:

(x+a)(x+b) = x(x+b)+a(x+b) = x²+xb+ax+ab = x²+(a+b)x+ab

Nous obtenons donc la somme a+b et le produit ab

Dans l'expression x²+4x+3, 4 est la somme, et 3 le produit. En cherchant un peu, 3 et 1 donnent la somme 3+1 et le produit 3*1. L'équation du haut peut donc se factoriser:

(x+3)(x+1)=0

...qui s'annulera si x égale -3 ou -1

L'équation se vérifie si x est égal à -3 ou à -1:

(-3)²+4.(-3)+3 = 9-12+3 = 0
(-1)²+4.(-1)+3 = 1-4+3 = 0

Autre exemple: x²-13x+42=0:

a+b=-13
a.b=42

Sommes possibles: -13 = -1-12, -2-11, -3-10, -4-9, -5-8, -6-7...
Produits possibles: 42 = 2*21, -2*-21, 3*14, -3*-14, 6*7, -6*-7...

Les deux nombres à retenir sont donc -6 et -7

(x-7)(x-6)=0

Les valeurs 7 et 6 pour x vérifient l'équation.

Attention: cela ne fonctionne que pour des cas particuliers, par exemple dans des questions d'examens. Des résultats peuvent être irrationnels (racine carrée...) ou inexistant.

Extensions: remplacer x par tan(x-π/4)

Une expression de type tan²(x-π/4)-2tan(x-π/4)-3 = 0

Somme: -2
Produit: -3
1 et -3 conviennent.

(tan(x-π/4)+1)(tan(x-π/4)-3) = 0

L'équation est respectée si tan(x-π/4) vaut -1 ou 3
etc.