Deux démonstrations du théorème de Pythagore

SURNOMMÉ le «pont-aux-ânes» par des générations de bachotteurs pour sa longue et pénible démonstration, le théorème dit de Pythagore (~569-~475), peut-être hérité de Sumériens, affirme que le carré de l'hypothénuse du triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il existe des dizaines de démonstrations de ce théorème, en voici deux géométriques.

Dans un triangle rectangle, l'hypothénuse (h) est le côté opposé à l'angle droit. Le carré de sa longueur est égal à la somme des carrés de la longueur des côtés formant l'angle droit. Dans les démonstrations de type géométrique, le carré de la longueur est une surface. Il s'agira d'un travail de comparaison de surface.

Démonstration classique

Il s'agira ici de démontrer que si l'on trace une perpendiculaire à l'hypothénuse passant par l'angle droit, le carré de l'hypothénuse est divisé en deux zones dont chacune équivaut en surface à l'un des carrés des deux autres côtés.

La zone représentée par le rectangle ABCD est équivalent au parallélogramme AB'C'D (même base AD et même hauteur CD).

Ce parallélogramme AB'C'D peut également être vu comme ayant une base a et une hauteur a'. Si a et a' sont équivalents, ABCD a bien la même surface que a².

Pour s'en convaincre, il faut savoir que la somme des trois angles d'un triangle vaut 180° (la valeur π du cercle trigonométrique). Dans un triangle rectangle, les deux angles non droits α et β valent 90°. L'angle plat en C'DE valant également 180°, est composé de α, d'un angle droit et de β'. Sans l'angle droit, α + β' vaut alors 90°, β' est donc équivalant à β. Le triangle de départ et le rectangle ADE ayant les mêmes angles et la même hypothénuse, ils sont égaux, et a' est bien équivalent à a.

L'équivalence de l'autre partie du carré de l'hypothénuse avec le carré de l'autre côté se démontre de façon symétrique.

Démonstration plus simple

Le grand carré a une surface de (a+b)², ce qui vaut a² + 2ab + b² (1)

Ce grand carré se décompose également en un carré de surface h² et quatre triangles de surface a.b/2, ce qui donne en tout h² + 4ab/2, soit h² + 2ab (2)

Comme il s'agit de deux façons différentes de calculer la même surface, on peut poser:

    a² + 2ab + b² (1) = h² + 2ab (2)

En éliminant 2ab de part et d'autre de l'égalité:

    a² + b² = h²