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Paradoxes des séries divergentes pour non-matheux

2016.09.13

Introduction

Vous connaissez probablement cette «démonstration» de l'inégalité 2 = 1:

  1. a = b
  2. a² = ab   — multiplication ppar a
  3. a²–b² = ab–b²   — soustraction de la valeur de part et d'autre
  4. (a+b)(a–b) = b(a–b)   — produit remarquable et mise en évidence
  5. a+b = b   — simplification par (a-b)
  6. 2b = b   — puisque a=b (1.)
  7. 2 = 1   — simplification par b

Cette anomalie remettrait en cause l'arithmétique de base s'il n'y avait une erreur grossière: a valant b, (a-b) est égal à zéro, or on passe de la ligne 4. à 5. en divisant les deux termes de l'égalité par (a-b), c'est-à dire 0. Le sophisme consiste en fait à faire apparaître discrètement une expression du style 2×0 = 1×0 pour ensuite la simplifier par zéro, ce qui n'est pas valide.

Une «démonstration» plus grossière de n'importe quelle inégalité serait:

Ce préambule était destiné à montrer que des sophismes mathématiques peuvent apparaître lorsqu'on méconnaît certaines lois.

Un peu de formalisme

Par souci de clarté et de simplicité, nous n'utiliserons que l'addition, utilisant s'il le faut des nombres négatifs (surmontés d'une barre). 5-3 sera donc écrit 5 + 3. Les nombres négatifs n'appartiennent pas dans l'ensemble N (nombres naturels, entiers positifs), mais dans l'ensemble Z (entiers positifs ou négatifs), qui permet de considérer la soustraction d'un entier positif comme l'addition du même entier mais négatif.

Pour l'intérêt de ce formalisme, voir la page dédiée à la notion de groupe.

Les séries

On appelle séries convergentes les séries dont la somme converge vers une valeur. Un exemple est la somme des fractions 1/2i pour i valant de 0 à l'infini, Σ1/2i:

1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25... soit:

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32...

qui converge vers 2.

Il existe des séries alternées non convergentes, telle:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1...

Quelle est la somme d'une telle série? Cela dépendrait de la dernière valeur considérée. Si l'on s'arrête à un élément impair, la somme sera de 1; à un élément pair, la somme sera de 0. Mais il y a autant de termes que l'on désire, il est donc impossible de décider si l'infini est pair ou non.

Certains se permettent de regrouper les termes deux à deux (associativité de l'addition dans N, Z, Q, R...), la somme est 0, chacune des parenthèses égalant 0:

S = (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)...

Mais il est également possible de regrouper d'une manière où l'on isole le premier terme, les parenthèses qui suivent valant également chacune 0:

S = 1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)...

La somme totale de cette même série vaut alors 1.

Il peut être tentant de penser que la seconde expression est 1 auquel on retranche la première expression (distributivité de la soustraction sur le signe de chaque membre):

S = 1 – (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)...

  1. S = 1 – S
  2. 2S = 1
  3. S = 1/2

Si la mathématique et les sciences en général dépasse souvent le bon sens, il faut néanmoins s'interroger lorsque des résultats semblent absurdes. Ici, le résultat est qu'un Parisien qui passe la moitié de son temps à Nice serait un Lyonnais. Le premier écueil est qu'il s'agit en fait d'une moyenne de deux résultats contradictoires.

Tout le monde pense absurde de limiter une série infinie. Or cette série a pour somme 0 ou 1 selon qu'on la limite à un nombre pair ou impair de termes. Le regroupement par paires englobant ou non le premier terme est aussi arbitraire qu'arrêter la série à un nombre déterminé de termes.

Par ailleurs, qui a décidé que l'associativité était compatible avec les éléments d'une série infinie? Rien que le fait d'une contradiction dans les résultat devrait remettre en question l'application

Et finalement, puisque l'associativité est appliquée aux termes des séries, rien n'empêche d'utiliser la commutativité (inversion de deux termes voisins), également valable pour l'addition dans Z:

S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1...

Selon le regroupement des termes, nous aurions deux «convergences»:

Nous pouvons aller plus loin, en commutant les deuxième et troisième termes, les quatrième et cinquième:

1 + 1 + (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1)... → 2

Le fait de pouvoir obtenir le nombre que l'on souhaite par l'utilisation de l'associativité ou la commutativité des termes d'une série devrait amener à la question de la validité de ces astuces.

Pour tenter de vous convaincre du péril de la chose, tentez cette démonstration:

1 + 1 + 1 + 1 + 1... = 1 + 1 + 1 + 1 + 1...

En plaçant judicieusement les parenthèses, vous obtenons:

1 + (1 + 1 + 1 + 1 +...) = (1 + 1 + 1 + 1...)

Une addition d'un nombre infini de 1 valant l'infini, nous avons l'expression

1 + ∞ = ∞

Si vous considérez ∞ comme une valeur quelconque et simplifiez l'égalité, vous obtiendrez:

1 = 0

Il s'agit du même sophisme que celui utilisé dans la première égalité: on y simplifiait par zéro, absorbant pour la multiplication, et l'on simplifie ici par l'infini, absorbant pour l'addition: ∞ + n = ∞.

Ceci n'a pour but que d'expliquer la difficulté d'appliquer des lois de l'arithmétique classique à un type d'objet différent: les séries.

Toujours plus fort

Il y a moyen d'aller plus loin dans l'étrange. Si vous pensez que la série suivante est divergente parce qu'elle tend vers l'infini:

1 + 1 + 1 + 1 + 1...

Vous en serez encore plus convaincu pour la série naturelle:

SN= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6...

puisqu'elle peut être vue comme une somme infinie de suites 1 + 1 + 1 + 1...:

1 +1 +1 +1 +1 +1 +1...
1 +1 +1 +1 +1...
1 +1 +1 +1 +1...
1 +1 +...
...

Néanmoins, certains parviennent à la conclusion que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... est un nombre fini, ce qui va être expliqué en deux phases. La première tente de trouver la valeur de la série naturelle alternée (SNA)

SNA = 1 + 2 + 3 + 4 + 5...

il est possible par un artifice de calcul de la faire équivaloir à

SNA = 1 + (2 + 3 + 4 + 5...)

où (2 + 3 + 4 + 5...) est l'inverse de la somme de SNA (1 + 2 + 3 + 4 + 5...) et SA (1 + 1 + 1 + 1...):

–SNA12345...
–SA11111...
23456...
  1. SNA = 1 – SNA – SA
  2. 2SNA = 1 – 1/2 = 1/2
  3. SNA = 1/4

L'intérêt de la valeur de la série naturelle alternée est qu'elle intervient pour calculer la série naturelle SN:

SN=1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6...
–SNA=1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6...
4SN=0+ 4+ 0+ 8+ 0+ 12...
  1. 4SN = SN – SNA
  2. 3SN = –SNA = –1/4
  3. SN = –1/12.

En clair, SN = 1 + 2 + 3 + 4 + 5... = –1/12. Une addition d'une infinité de nombres de plus en plus grand donnerait donc un nombre négatif proche de 0.

Conséquences

Ce que beaucoup de sites qui prennent plus ou moins ce paradoxe au sérieux disent, c'est que ces résultats sont compatibles ou nécessaires à la physique quantique, mais sans dire en quoi ni renvoyer à une théorie ou à un auteur, ce qui est bien dommage. C'est vrai que les résultats de la physique quantique sont tellement étonnants que nous serions portés à y croire.

Par ailleurs, une série naturelle valant –1/12 serait incompatible avec la valeur 1/2 de la série alternée. En effet, que vaut SA + SN?

SA1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1...
SN0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5...
1+ 0+ 3+ 2+ 5+ 4...

L'addition dans N, Z, Q, R... étant commutative, 1+0+3+2+5+4... = 0+1+2+3+4+5..., soit SN elle-même.

Cela a pour conséquence que le résultat intermédiaire SA=1/2 est incompatible avec le résultat SN=-1/12. Cela fait un peu penser au Voyageur imprudent de Barjavel qui tue son ancêtre et donc disparaît — et n'a donc pas le loisir de tuer son ancêtre — et donc ne disparaît pas — et donc tue effectivement son ancêtre — etc.

Question

Je serais curieux de savoir quel apport à la théorie quantique fait appel à SN=-1/12. En général, ce genre d'affirmation évasive est typique des pseudo-théories new-age.