Paradoxes des séries divergentes pour non-matheux

2016.09.13

Introduction

Vous connaissez probablement cette «démonstration» de l'inégalité 2 = 1 :

  1. a = b
  2. a² = ab   — multiplication de part et d'autre par a
  3. a²–b² = ab–b²   — soustraction de la valeurde part et d'autre
  4. (a+b)(a–b) = b(a–b)   — produit remarquable et mise en évidence
  5. a+b = b   — simplification par (a-b)
  6. 2b = b   — puisque a vaut b (voir première ligne)
  7. 2 = 1   — simplification par b

Cette anomalie remettrait en cause l'arithmétique de base s'il n'y avait une erreur grossière : a valant b, (a-b) est égal à zéro, or on passe de la ligne 4. à 5. en divisant les deux termes de l'égalité par (a-b), c'est-à dire 0. Le sophisme consiste en fait à faire apparaître discrètement une expression du style 2×0 = 1×0 pour ensuite la simplifier par zéro, ce qui n'est pas valide.

Une «démonstration» plus grossière de n'importe quelle inégalité serait :

Ce préambule était destiné à montrer que des sophismes mathématiques peuvent apparaître lorsqu'on méconnaît certaines lois.

Un peu de formalisme

Par souci de clarté et de simplicité, nous n'utiliserons que l'addition, utilisant s'il le faut des nombres négatifs (surmontés d'une barre). 5-3 sera donc écrit 5 + 3. Les nombres négatifs n'appartiennent pas dans l'ensemble N (nombres naturels, entiers positifs), mais dans l'ensemble Z (entiers positifs ou négatifs), qui permet de considérer la soustraction d'un entier positif comme l'addition du même entier mais négatif.

Pour l'intérêt de ce formalisme, voir la page dédiée à la notion de groupe.

Les séries

On appelle séries convergentes les séries dont la somme converge vers une valeur. Un exemple est la somme des fractions 1/2i pour i valant de 0 à l'infini, Σ½i :

1/20 + 1/21 + 1/22 + 1/23 + 1/24 + 1/25… soit :

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32…

qui converge vers 2.

Il existe des séries alternées non convergentes, telle :

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Quelle est la somme d'une telle série ? Cela dépendrait de la dernière valeur considérée. Si l'on s'arrête à un élément impair, la somme sera de 1 ; à un élément pair, la somme sera de 0. Mais il y a autant de termes que l'on désire, il est donc impossible de décider si l'infini est pair ou non.

Certains se permettent de regrouper les termes deux à deux (associativité de l'addition dans N, Z, Q, R…), la somme est 0, chacune des parenthèses égalant 0 :

SA = (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)…

Mais il est également possible de regrouper d'une manière où l'on isole le premier terme, les parenthèses qui suivent valant également chacune 0 :

SA = 1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)…

La somme totale de cette même série vaut alors 1.

Il peut être tentant de penser que la seconde expression est 1 auquel on retranche la première expression (distributivité de la soustraction sur le signe de chaque membre) :

SA = 1 – (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1)…

  1. SA = 1 – SA
  2. 2SA = 1
  3. SA = 1/2

Si la mathématique et les sciences en général dépasse souvent le bon sens, il faut néanmoins s'interroger lorsque des résultats semblent absurdes. Ici, le résultat est qu'un Parisien qui passe la moitié de son temps à Nice serait lyonnais. Le premier écueil est qu'il s'agit en fait d'une moyenne de deux résultats contradictoires.

Il est en effet absurde de limiter une série infinie. Or cette série a pour somme 0 ou 1 selon qu'on la limite à un nombre pair ou impair de termes : le regroupement par paires englobant ou non le premier terme est donc aussi arbitraire qu'arrêter la série à un nombre déterminé de termes.

En poussant un peu plus loin, puisque l'associativité est appliquée aux termes des séries, rien n'empêche d'utiliser la commutativité (inversion de deux termes voisins), également valable pour l'addition dans Z :

SA = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Selon le regroupement des termes, nous aurions deux «convergences» :

Nous pouvons encore aller plus loin, en reprenant la série alternée initiale, en commutant les deuxième et troisième termes, les sixième et septième, les dixième et onzième… et les associant par quatre à partir du troisième :

1 + 1 + (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1)… → 2

Le fait de pouvoir obtenir le nombre que l'on souhaite par l'utilisation de l'associativité ou la commutativité des termes d'une série devrait amener à la question de la validité de ces pratiques, qui peuvent finalement mener à obtenir beaucoup de valeurs (une infinité?).

Pour tenter de vous convaincre du péril de la chose, tentez cette démonstration :

1 + 1 + 1 + 1 + 1… = 1 + 1 + 1 + 1 + 1…

En plaçant judicieusement les parenthèses, vous obtenons :

1 + (1 + 1 + 1 + 1 +…) = (1 + 1 + 1 + 1…)

Une addition d'un nombre infini de 1 valant l'infini, nous avons l'expression

1 + ∞ = ∞

Si vous considérez ∞ comme une valeur quelconque et simplifiez l'égalité, vous obtiendrez :

1 = 0

Il s'agit du même sophisme que celui utilisé dans la première égalité : on y simplifiait par zéro, absorbant pour la multiplication, et l'on simplifie ici par l'infini, absorbant pour l'addition : ∞ + n = ∞.

Ceci n'a pour but que d'expliquer la difficulté d'appliquer des lois de l'arithmétique classique à un type d'objet différent : les séries.

Toujours plus fort

Il y a moyen d'aller plus loin dans l'étrange. Si vous pensez que la série suivante est divergente parce qu'elle tend vers l'infini :

1 + 1 + 1 + 1 + 1…

Vous devriez en être convaincu que la série naturelle progresse encore plus vite :

SN = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6…

puisqu'elle peut être vue comme une somme infinie de suites 1 + 1 + 1 + 1… :

1 +1 +1 +1 +1 +1 +1…
1 +1 +1 +1 +1…
1 +1 +1 +1 +1…
1 +1 +

Néanmoins, certains parviennent à la conclusion que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6… est un nombre fini, ce qui va être expliqué en deux phases. La première tente de trouver la valeur de la série naturelle alternée (SNA) par un artifice de calcul :

SNA = 1 + 2 + 3 + 4 + 5… = 1 + (2 + 3 + 4 + 5…)

où (2 + 3 + 4 + 5…) est l'inverse de la somme de SNA (1 + 2 + 3 + 4 + 5…) et SA (1 + 1 + 1 + 1…) :

–SNA12345
–SA11111
23456

d'où

  1. SNA = 1 – SNA – SA
  2. 2SNA = 1 – 1/2 = 1/2
  3. SNA = 1/4

L'intérêt de la valeur de la série naturelle alternée est qu'elle intervient pour calculer la série naturelle SN :

SN1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6
–SNA1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6
0+ 4+ 0+ 8+ 0+ 12= 4SN
  1. 4SN = SN – SNA
  2. 3SN = –SNA = –1/4
  3. SN = –1/12.

Finalement, SN = 1 + 2 + 3 + 4 + 5… = –1/12. Une addition d'une infinité de nombres entiers de plus en plus grand donnerait donc un nombre rationnel négatif proche de 0.

Contradictions

Une série naturelle valant –1/12 est incompatible avec la valeur 1/2 de la série alternée utilisée pour la calculer. En effet, si l'on calcule SA + SN :

SA1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1
SN0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5
1+ 0+ 3+ 2+ 5+ 4

…dans l'hypothèse de la commutativité des éléments de la série, 1+0+3+2+5+4… = 0+1+2+3+4+5…, soit SN elle-même.

Cela a pour conséquence que le résultat intermédiaire SA = 1/2 est incompatible avec le résultat SN = -1/12. Cela fait un peu penser au Voyageur imprudent de Barjavel qui tue son ancêtre et donc disparaît — et n'a donc pas le loisir de tuer son ancêtre — et donc ne disparaît pas — et donc tue effectivement son ancêtre — etc.

Nous avons vu que le regroupement de termes par associativité dans une série permettait d'arrêter la série là où c'est «intéressant». Nous avons également vu qu'en utilisant la commutativité, on pouvait encore faire mieux.

Mais il y a également le jeu avec des infinis, qui s'additionnent bien (∞ + ∞ = ∞) mais se soustraient mal (∞ – ∞ = est indéterminé). Il aurait également fallu vérifier que l'ensemble des séries munie de l'addition était bien un groupe : si l'addition dans Z est interne et partout définie (Z+ est un groupe), le résultat -1/12 n'appartient pas à Z, ce qui veut dire que Z muni d'une somme infinie de termes n'est pas un groupe.

Question annexe

Ce que les sites qui prennent plus ou moins ce paradoxe au sérieux ajoutent souvent, c'est que ces résultats sont compatibles ou nécessaires à la physique quantique, mais sans dire en quoi ni renvoyer à une théorie ou à un auteur, ce qui est bien dommage. C'est vrai que les résultats de la physique quantique sont tellement étonnants que nous serions portés à y croire.

Finalement, il s'agit de la sommation de Ramanujan, tirée de son contexte. Elle n'a pas de rapport avec la somme arithmétique.